Imaginez ce jeu : deux joueurs, chacun 50 euros misés, une pièce. L’un choisit pile, l’autre face : le premier qui atteint dix points gagne. Lorsque le score est de huit à six, l’un des deux joueurs doit quitter la partie pour une urgence : qui gagne ? Aucun des deux n’a atteint le score prévu au départ, mais récupérer ses 50 euros n’est pas non plus une option équitable.
Voici le problème des points, ou de la division de la mise, un casse-tête mathématique qui a occupé les mathématiciens pendant plus de 150 ans et qui a favorisé le développement de la théorie des probabilités. Mais avançons pas à pas.
La proposition de deux Italiens
En 1494, le mathématicien italien Luca Pacioli parvint pour la première fois à trouver une solution, au moins partielle, au problème des points : il proposa de diviser le butin proportionnellement aux points obtenus jusqu’à ce moment-là – si l’on est 8 à 6, cela signifie que l’on a lancé la pièce 14 fois, et donc celui qui est en tête devrait toucher 8/14 des 100 euros en jeu, soit environ 57 euros.
Cette solution, bien que raisonnable, ne tient pas compte de ce qui reste à faire pour terminer la partie. La limite est évidente si le jeu se termine après un seul lancer : le gagnant empocherait l’intégralité des 100 euros misés.
Environ cinquante ans plus tard, un autre Italien, Niccolò Tartaglia, améliora quelque peu la théorie de Pacioli, divisant le butin selon l’avance de chacun vers la victoire : si un joueur compte deux lancers d’avance sur l’autre sur dix, il a parcouru un cinquième du chemin vers la victoire. Il doit donc recevoir ses 50 euros plus un cinquième de ce que l’adversaire a misé — soit 60 euros au total.
Là encore, le problème persiste : Tartaglia ne prend pas en compte la probabilité de victoire de chaque joueur et n’évalue pas combien de coups restent à jouer pour atteindre la victoire.
Les bases de la théorie des probabilités
La tournante arrive environ 150 ans plus tard avec deux mathématiciens français, qui comprennent que la solution ne consiste pas à regarder le passé de la partie, mais les possibilités futures non réalisées.
Blaise Pascal et Pierre de Fermat comprirent que la question correcte à se poser est : quelles probabilités chacun aurait-il de gagner à partir de ce moment, si la partie n’était pas terminée ?
Fermat aborda le problème en énumérant toutes les continuations possibles de la partie. La méthode était correcte, mais peu pratique : avec de nombreux lancers encore à effectuer, les combinaisons à analyser deviennent des millions.
Pascal pense à une solution plus astucieuse, et part d’une idée simple : si les joueurs sont à égalité, chacun retrouve ce qu’il a misé.
De là, il raisonne à rebours : s’il ne reste qu’un seul lancer pour la victoire, quel serait le gain ? Et deux, et trois ? Le résultat est identique à celui de Fermat, mais obtenu par des calculs bien plus simples : la moyenne pondérée des résultats futurs possibles est ce que l’on appelle aujourd’hui la valeur attendue, l’un des concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, le concept mathématique qui sert de base à presque toutes les évaluations du risque modernes.
